חשוב להזכיר ששורשים רבים מרובעים, שורשי קובייה וכו’ נכנסים לקטגוריה של מספרים אי-רציונליים. ניתן לבטא מספרים אי-רציונליים כמספרים עשרוניים שאינם מסתיימים, שאינם חוזרים על עצמם. חשוב לציין שלא כל הספרות העשרוניות חוזרות על עצמן.
- המספרים הרציונליים הם אותם מספרים שניתן לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים.
- ואילו מספרים אי-רציונליים הם אותם מספרים שלא ניתן לבטא בשבר.
- למספרים רציונליים יש אינסוף ספרות שאינן חוזרות על עצמן לאחר הנקודה העשרונית.
- מספר רציונלי כולל כל מספר שלם, שבר או עשרוני שמסתיים או חוזרים.
- “אנחנו אכן משתמשים בדרך כלל ב’רציונלי’ במשמעות של משהו יותר כמו מבוסס על סיבה או דומה”, אומר קולאצ’יק.
- בסיס להשוואה מספרים רציונליים מספרים אי רציונלייםמשמעות מספרים רציונליים מתייחסים למספר שניתן לבטא ביחס של שני מספרים שלמים.
- היוונים הקדמונים גילו שלא כל המספרים הם רציונליים; יש משוואות שלא ניתן לפתור באמצעות יחסים שלמים.
⅔ הוא דוגמה למספר רציונלי ואילו √2 הוא מספר אי רציונלי. מנקודת מבט טכנית, טוב לדעת שאנו יכולים לבצע חישובים מדויקים על רציונלים. לגבי מספרים אי-רציונליים, עליך לבצע קירוב אלא אם כן אתה מגביל את עצמך לתת-קבוצה מתאימה של מספרים אי-רציונליים, כמו למשל. הרחבה כמו $\mathbb Q[\sqrt2]$ או המספרים האלגבריים $\bar$. אבל גם כאשר מבצעים חישובים עם שדות כאלה, פעולות רבות מנוסחות באופן פנימי על מספרים רציונליים, שבתורם מנוסחים על מספרים שלמים.
מספרים רציונליים ואי-רציונליים
המספרים שאינם מספרים רציונליים נקראים מספרים אי-רציונליים. כעת, הבה נרחיב, ניתן לכתוב מספרים אי-רציונליים בעשרונים אך לא בצורה של שברים, מה שאומר שלא ניתן לכתוב אותם כיחס של שני מספרים שלמים. אז איזה סוג של מספרים מתנהגים בצורה כל כך מטורפת? אולי המספר האי-רציונלי המפורסם ביותר הוא pi – לפעמים כתוב כ-π, האות היוונית ל-p – המבטאת את היחס בין היקף המעגל לקוטר המעגל הזה. כפי שהמתמטיקאי סטיבן בוגרט הסביר במאמר זה ב-Scientific American משנת 1999 שהיחס תמיד יהיה שווה ל-pi, ללא קשר לגודל המעגל.
מאפיינים של מספרים רציונליים ואי-רציונליים
ההתרחבות העשרונית של מספרים אי-רציונליים אינה סופית ואינה חוזרת. מספרים אי-רציונליים כוללים סתימות ומספרים מיוחדים כגון π.
אם מספר עשרוני מיוצג על ידי פס, אז הוא רציונלי או אי רציונלי?
“פי הוא מספר אי-רציונלי ראשון ברור שצריך לדבר עליו”, אומר מנור בדוא”ל. “אנחנו צריכים את זה כדי לקבוע שטח והיקף של מעגלים. זה קריטי לזוויות מחשוב, והזוויות הן קריטיות לניווט, בנייה, מדידות, הנדסה ועוד. ואילו מספרים אי-רציונליים הם אותם מספרים שלא ניתן לבטא בשבר. במאמר זה נדון במספרים רציונליים, מספרים אי-רציונליים, דוגמאות למספרים רציונליים ואי-רציונליים, ההבדל בין מספרים אי-רציונליים לרציונליים וכו ‘.
האם 4 הוא מספר רציונלי?
ניתן לייצג מספרים אי-רציונליים בצורה עשרונית אך לא בשברים, מה שמרמז שלא ניתן לבטא את המספרים האי-רציונליים כיחס בין שני מספרים שלמים. המספר הרציונלי כולל רק את אותם עשרוניים, שהם סופיים וחוזרים. לעומת זאת, מספרים אי-רציונליים כוללים את אותם מספרים שההרחבה העשרונית שלהם היא אינסופית, אינה חוזרת על עצמה ואינה מציגה תבנית. ההבדל העיקרי בין מספרים רציונליים ואי-רציונליים הוא, המספר הרציונלי מבוטא בצורה של p/q ואילו מספר אי-רציונלי אינו אפשרי. למד את ההגדרות, הבדלים נוספים ודוגמאות המבוססות עליהם.
שאלות תרגול
בסיס להשוואה מספרים רציונליים מספרים אי רציונלייםמשמעות מספרים רציונליים מתייחסים למספר שניתן לבטא ביחס של שני מספרים שלמים. מספר אי רציונלי הוא כזה שלא ניתן לכתוב כיחס של שני מספרים שלמים. מבוטא בשבר.כולל ריבועים מושלמיםSurds הרחבה עשרונית סופיים או חוזרים עשרונים לא סופיים או לא חוזרים. מספרים רציונליים כוללים את כל המספרים השלמים, השברים והעשרונים החוזרים על עצמם. עבור כל מספר רציונלי, נוכל לכתוב אותם בצורה של p/q, כאשר p ו-q הם ערכים שלמים.
ההתרחבות העשרונית של מספרים אי-רציונליים אינה מסתיימת ואינה חוזרת. המילה “רציונלי” נגזרת מהמילה “יחס”, שמשמעותה למעשה השוואה של שני ערכים או יותר או מספרים שלמים, והיא ידועה כשבר. פאי (π) הוא מספר אי-רציונלי מכיוון שהוא עשרוני בלתי נגמר שלא ניתן לפשט אותו כשבר מדויק. המספרים הטבעיים מהווים את תת-הקבוצה הקטנה ביותר, המכונה גם קבוצת המספרים “הספירה”.
הערך של π שווה בקירוב למספר המתקבל על ידי חלוקת 22 ב-7. אבל הערך האמיתי של π אינו מסתיים ואינו חוזר, מה שהופך אותו למספר לא רציונלי. 22/7, לעומת זאת, הוא מספר רציונלי, שהוא בצורה של p/q, והרחבתו העשרונית אינה מסתיימת אנו יכולים לייצג מספרים רציונליים בצורה של היחס בין שני מספרים שלמים, כאשר המכנה אינו שווה ל-0. אך איננו יכולים לבטא מספרים אי-רציונליים באותה צורה.
שאלות נפוצות – שאלות נפוצות
כל המספרים השלמים הם מספרים רציונליים, אבל כל המספרים הלא-שלמים אינם מספרים אי-רציונליים. היוונים הקדמונים גילו שלא כל המספרים הם רציונליים; יש משוואות שלא ניתן לפתור באמצעות יחסים שלמים. Hippassus הציג מספרים אי-רציונליים בעת ניסיון לכתוב את השורש הריבועי של 2 בצורת השבר.
המספרים הרציונליים הם אותם מספרים שניתן לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים. לדוגמה, השברים 13 ו-11118 הם שניהם מספרים רציונליים. כל המספרים השלמים נכללים במספרים הרציונליים, מכיוון שניתן לכתוב כל מספר שלם z כיחס z1.
ההבדל בין מספרים רציונליים ואי-רציונליים
לחלק מהעשרונים יש מספר אינסופי של ספרות שאינן חוזרות על עצמן, ולכן לא ניתן לבטא אותן כשבריר מספרים שלמים. סוגים אלה של מספרים ממשיים מסווגים כאי-רציונליים. הסימון עבור מספרים אי-רציונליים מאפשר יעילות ביישומי מתמטיקה. להלן כמה הבדלים שכדאי ללמוד על מספרים רציונליים ואי-רציונליים. ראשית, מספרים רציונליים הם מספרים שאנו יכולים לכתוב כשבר; המספרים האלה שאנחנו לא יכולים לבטא כשברים נקראים אי-רציונליים, בדיוק כמו פאי. המספר 2 הוא מספר רציונלי, אבל השורש הריבועי שלו לא.