כאשר אנו דנים בשלמות המודל, או השלמות, של תיאוריות מסוימות, אין לנו בהכרח קבוצה ספציפית של אקסיומות בראש, מכיוון שהאקסיומטיזציות שונות. יש מחברים שפשוט אומרים שכל קבוצת משפטים היא תיאוריה; חלקם דורשים שהם ייסגרו תחת דדוקציה / תוצאה סמנטית. ב”האלמנטים” של אוקלידס, הוא מגדיר נקודה כ”זה שאין לו חלק”. קו הוא “אורך חסר רוחב”, ללא הגדרה של רוחב או אורך. אלו הן ישויות יסוד השואבות במידה רבה את משמעותן ממרכיבים בסיסיים של חוויה.
- משפט הוא אמירה מתמטית שהאמת שלה נקבעה לוגית והוכחה.
- מצד שני, משפטים נגזרים בדרך כלל מהאקסיומות וממערכת של חיבורים לוגיים קיימים אחרים.
- @SaadHaider אתה יכול להוכיח באמצעות ZFC שהמספרים הטבעיים הם קבוצה (זו תוצאה של האקסיומה של האינסוף).
- אתה בעצם צריך להוכיח שיש משהו שעונה על אקסיומות פיאנו.
- ניתן להגדיר כאותם הצהרות מתמטיות שהן נכונות ויש להן הוכחה לוגית.
ברוב ההגדרות, אנו יכולים להחליף קבוצה של אקסיומות בסגירה הדדוקטיבית שלה בעת הצורך, כך שההבדל בין שתי המוסכמות אינו מהותי במיוחד. העובדה היא שמשמעות המונח תיאוריה משתנה בתוך הלוגיקה המתמטית, ולוגיקאים וטקסטים לוגיים שונים מגדירים מונח זה בצורה שונה. יש האומרים שתיאוריה היא כל קבוצה של משפטים, אחרים מתעקשים שהיא תהיה סגורה באופן דדוקטיבי. יש עוד משמעות אחת של “תיאוריה” שאני רוצה לציין. הזכרתי תיאוריות שנוצרות על ידי נטילת הסגירה הדדוקטיבית של קבוצה של משפטים שמתייחסים אליהם כאל אקסיומות.
סיכום
משפט, מעצם הגדרתו, הוא משפט שמוכח בדרך כלל באמצעות משפטים קודמים, אקסיומות ומערכת של חיבורים לוגיים אחרים. משפטים מודגמים בדרך כלל באמצעות הצהרות אחרות, כגון אקסיומות או הצעות מקובלות אוניברסלית.
אַקסִיוֹמָה
משפט הוא מכאן תוצאה לוגית של האקסיומות, כאשר הוכחה למשפט היא טיעון לוגי המבסס את אמיתותו באמצעות כללי ההיסק של מערכת דדוקטיבית. אקסיומות או פוסטולטה מוגדרות כמשפט שמקובל כנכון ונכון, הנקרא כמשפט במתמטיקה.
ההבדלים העיקריים בין אקסיומה למשפט
הם הצהרות מתמטיות שמניחים שהם נכונים על ידי מתמטיקאים אך אין להם שום הוכחה לוגית. משפטים מודגמים לעתים קרובות בעזרת הצהרות נוספות כגון אקסיומות או הצעות מקובלות אוניברסלית. מצד שני, בהגדרה, משפט נחשב לאמירה שבדרך כלל מוכחת בעזרת משפטים אחרים, אקסיומות ועוד קבוצה של חיבורים לוגיים.
הצהרת משפט דה מויברה
עם זאת, לעתים קרובות מניחים שאלה מובנים מאליהם. אקסיומה נחשבת לאמירה אמיתית, בעיקר מבוססת לוגיקה, שאינה ניתנת להוכחה או הוכחה.
עליך להתחבר כדי לענות על שאלה זו
כאשר כאקסיומה היא הצהרה או הצעה שנחשבת כמבוססת, מקובלת או נכונה כמובן מאליה. השערה היא תחזית מדעית הניתנת לבדיקה או אימות כאשר כאקסיומה היא טענה או אמירה שיש להניח שהיא נכונה, היא משמשת להסקת הנחות אחרות. אמת לכאורה מובנת מאליה או הכרחית אשר מבוססת על הנחה; עקרון או הצעה שלא ניתן להוכיח או להפריך בפועל. למשפטים יש מספר הנחות יסוד שיש להבהיר או לרשום מראש.
אקסיומה היא אמירה, שהיא נפוצה וכללית, ובעלת משמעות ומשקל נמוכים יותר. פוסטולטה היא אמירה בעלת משמעות גבוהה יותר ומתייחסת לתחום ספציפי. מכיוון שלאקסיומה יש יותר כלליות, היא משמשת לעתים קרובות בתחומים מדעיים וקשורים רבים. אקסיומה היא אמירה נכונה, במיוחד כזו המבוססת על היגיון, שלא ניתן להוכיח או להוכיח.
הבדל מרכזי אחד ביניהן הוא שהנחות הנחות הן הנחות אמיתיות שהן ספציפיות לגיאומטריה. אקסיומות הן הנחות אמיתיות המשמשות לאורך כל המתמטיקה ואינן קשורות ספציפית לגיאומטריה. עקרון מבוסס באמנות או מדע כלשהו, שלמרות שאינו אמת הכרחית, הוא מתקבל באופן אוניברסלי; כמו, האקסיומות של כלכלה פוליטית. אקסיומות לא לוגיות, לעומת זאת, הן ניסוחים לוגיים המשמשים בבניית תיאוריות מתמטיות. אין דרישה לשום סוג של ראיה במקרה של אקסיומה.
משפט הוא משפט מתמטי שהוא נכון ויש לו הוכחה הגיונית מאוד. זה יכול להיות עבור אלגברה או גיאומטריה, אבל תמיד ניתן להוכיח את התוצאה של משפט. אקסיומות משמשות כאבן היסוד של הצהרות מתמטיות או הסברים לוגיים, כמו גם נקודת המוצא למשפטים. בלוגיקה, תיאוריית $\Sigma$ $T$ היא רק קבוצה של משפטים המתקבלים מהחתימה $\Sigma$. כפי שהבנתי, מה שהלוגיקאי מכנה “תיאוריה” הוא מה שמתמטיקאי מכנה “מערכת אקסיומות”. אבל מה שמתמטיקאי מכנה “תיאוריה” הוא קבוצת כל המשפטים, שניתן להוכיח ממערכת האקסיומות.
אם היינו יכולים להוכיח שהמספרים הטבעיים קיימים באמצעות אקסיומות Peano, אז הוכחנו את קיומו של מודל ל-PA, המקביל להוכחת עקביות. מצד שני, סטים כאלה הם דגמים של ZFC, כך שמנקודת המבט של הדגם עצמו, זה נראה כאילו יש לך יקום שלם. אז האקסיומות של ZFC הן אקסיומות ממשיות, שאומרות לך אילו הצהרות נכונות, מותר לעשות מבנים וכו’.
אקסיומה היא אמירה שמתקבלת כנכונה ללא צורך בהוכחה. ניתן להגדיר כאותם הצהרות מתמטיות שהן נכונות ויש להן הוכחה לוגית. משפטים מוכחים לעתים קרובות בעזרת טענות נוספות, כגון אקסיומות או הצעות מקובלות ברחבי העולם.